2018年安徽农业大学园艺学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
记
为
独立同分布，X1的取值有四种可能，其概率分别为
中出现各种可能结果的次数，
，使
为的无偏估计；
所以
从而有
若使T 为的无偏估计，即要求
（1）确定（2）将
【答案】（1）由于
与的无偏估计方差的C-R 下界比较.
解之得
即（2）
对数似然函数为（略去与0无关的项）
于是
注意到观测量
是随机变量，且
，故
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是的无偏估计.
从而费希尔信息量为
所以的无偏估计方差的C-R 下界为由于
，于是
的方差为
即T 的方差没有达到的无偏估计方差的C-R 下界.
2． 设某元件是某电气设备的一个关键部件，当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时，标准差为30小时，试问:应该有多少备件，才能有证这个系统能连续运行2000小时以上？
【答案】记
为第i 个元件的寿命，
则
根据题意可列如下不等式
再由林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
从中解得
所以取
即应有23个此种元件，
以上的概率，保
可有以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.
3． 设随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为
试求 （1）常数k ;
（2）（x , y ）的联合分布函数F （x , y ）; （3）
【答案】（1）由
解得k=12.
（2）当x ≤0或Y ≤0时，有
；而当x >0，y>0时，
所以
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.
（3）
4． 设随机变量X 在区间
（2）Y 的概率密度（3）求概率【答案】 （1）
（2）当当（3）
5． 设总体X 的分布律为:
表
1
其中
（1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【答案】 （1）由于得
为的矩估计量.
于是求导得:
于是令
,
为来自总体的简单随机样本.
及时,
时,
上服从均匀分布, 而Y 在区间
；
； .
上服从均匀分布. 试求:
（1）X 和Y 的联合概率密度
（2）总体X 的分布律可以表示为:其似然函数为,
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