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一、证明题

1． 证明:

【答案】(1) 由

的递减性，有

即

从而有

依次相加得

由左边不等式，得

由右边不等式，得

综合两式有

(2) 由(1) 有

而

于是由迫敛性定理有

2． 设x=x(y ，z ) ，y=y(z , x ) ，z=z(x , y ) 为由方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数. 证明：

【答案】由隐函数定理知

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所以得 3． 设

【答案】由

证明：级数

收敛.

知，当n 充分大时有

所以级数收敛. 由条件

知与有相同的敛散性，从而收敛.

在D 上有界.

，必在

4． 证明：若函数某个小区域

当

上无界.

在有界闭区域D 上可积，则

【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割

时，任取

令

由于f 在从而

另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和

都满足

这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.

*对任一 D 的分割

上无界，从而存在

使得

时，T 的

二、解答题

5． 设

在[0, 1]上连续，在（0, 1）内有二阶导数，且

求证： （1）函数

在

内恰有两个零点；

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（2）至少存在一点【答案】（1）函数

在

使得

（见图）:

上有惟一的最小值点

图

显然

，否则.

这与

矛盾. 又因为

否则由凹函数的最大值在端点达到，导致有

又因为

使得

如果

（2）令

又根据第（1）小题，

在

有一个零点，这

矛盾. 注意到由.

推出. 所以

于是

故有

即

6． 设

大值还是极小值？

【答案】

由

得方程组

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这又与

在

上连续，所以

在

矛盾. 于是使得

内有两个零点，

导致

内有三个零点，由罗尔定理，

函数

再由在

的连续性，存在使得即

处都取得极值，试求a 与b ; 并问这时f 在与是取得极

解得