2017年广西师范大学数学与统计学院624数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 若
为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则
，由连续函数的局部保号性知：
，
有故
2． 设
【答案】令
求证
：
显然有
于是
3． 叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
(1) 惟一性定理：若极限(2) 局部有界性定理：
若
上有界.
(3) 局部保号性定理：若
的某空心邻域
使得对一切点
在点
时，
从而，
由(2) 设即
这说明函数
在
上有界.
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，
【答案】由题设存在使得对一
切
且连续，所
以
存在，则它只有一个极限.
则存在点
的某空心邻域
则对任意正数桓有
处的极限，则对任给的
存在使
存在
当
在1
【答案】(1) 设A ，B 都是二元函数
的任意性，故A =B
则对
存在
对
有
(3) 设故当对于
4． 设
(1) (2) (1) 设(2) 设
右边
则 右边
则
由函数极限的定义知：存在相应的
时，
的情况可类似证明. 证明：
对一切有
【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设 左边. 左边.
5． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若
【答案】由复合函数求导法则可得
则在处有
由
得
故当X=1时
6． 设函数在
【答案】
上二阶可导
，在
和
证明存在一点
的一阶泰勒公式分别为
由此得到
于是
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使得
其中
7． 设
是定义在
上的连续的偶函数，则上的连续的偶函数知
从而
所以原命题成立.
从而令
有
或
并且满足
【答案】由f (x ) 是定义在
二、解答题
8． 计算第二型曲线积分曲线.
【答案】由题意可令
则
所以积分与路径无关，选择A 点沿y 轴到原点，再由原点沿x 轴到B 点的路径. 从而
9． 设
记
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其中L 是从A (0，1) 沿到的一段
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