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一、证明题

1． 设

【答案】因为对于这样的当

故

产生，如果对

为严格单调数列；

和

都为严格单调数列，且具有

的两个子列

推出

，证明

时，

所以对任给的

存在

使得当因此

2． 设是某个区间，数列由迭代公式

求证：(1) 当在区间上严格单调增加时，(2) 当在区间上严格单调减少时，相反的单调性.

【答案】(1) 以下分两种情况考虑： ①如果②如果

那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调増加数列； 那么用数学归纳法容易证明数列必为严格单调下降数列.

恰好是严格单调増加的，应用

(2) 注意到，当f 在区间上严格单调减少时，复合函数第(1) 小题的结论即得证明. 3． 设

为递减正项数列，证明：级数

的部分和为

与

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

为递减的正项数列，

【答案】设级数

故

级数

故若又有

收敛，则也收敛；若发散，则也发散.

故若同.

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收敛，则也收敛；若发散，则也发散. 由上可知两级数的敛散性相

4． 设与都在

上可积，证明

在也可积。又

上也都可积。

可积知.

在

上可积，从而

在

上

【答案】由

且可积函数的和、差、数乘仍可积，所以

在

上均可积。

二、解答题

5． 设

【答案】

试问在怎样的点集上gradu 分别满足：

即

(2) 若gradu 平行于z 轴，则

即

(3) gradu恒为零向量，则

即解得

(1) 垂直于x 轴；(2) 平行于z 轴；(3) 恒为零向量. 由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是(0, 0, 1) , 故

6． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积。

图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到

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7． 举例说明

：

【答案】

例如

收敛且f 在

令

得

上连续时，不一定有

收敛，且

在

上连续，

但不存在

8． 判别下列级数的敛散性：

(1

) (3

) (5

) (7

) 【答案】(1) (2) 因为而级数(3) 因为

所以(4) 因为

所以(5) 因为

所以(6)

设所以又因为(7) 因为

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(2)

(4) (6)

所以级数，又因为

收敛，所以级数

_收敛.

发散.

收敛.

收敛.

发散. 则

，当

. 时，有

收敛.

即

，因此

收敛，由比较判别法得