2017年天津工业大学0714统计学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（x ，y ）的概率密度为及条件概率密度
【答案】由题设可知
于是
X 的边缘概率密度为
于是当
时，条件概率密度
2． 设总体X 的分布函数为
是来自总体的简单随机样本，（1）求
量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的
都有
其中为未知的大于零的参数
，
；（2）求
的极大似然估计
。
，求常数A
【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数
（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于
零时
，
（3）由于可知
令
得
的极大似然估计量为
独立同分布，显然对应的
由辛钦大数定律，
可得
故存在常数
使得对任意的
都有
也独立同分布，又有（1）
再由（1）（2）可知
，
3． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）
4． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg ，标准差为1.2kg. 某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：
设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取）？
，待检验的问题为
检验拒绝域为若取查表知由样本数据算得，
此处u 值未落入拒绝域内，因此不能拒绝原假设，不能认为这一天包装机的工作不正常. 【答案】这是一个双侧假设检验问题，总体 5． 设
是来自正态分布族
的一个二维样本, 寻求（【答案】
）的充分统计量.
由因子分解定理知, 为充分统计量.
6． 一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.
，所求概率为
【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则X 〜b （3，0.1）
7． 某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为
表
试求顾客在商店平均购买服装件数. 【答案】
8． 设总体X 服从N （0, 1）,
从此总体获得一组样本观测值
（1）计算x=0.15（即（2）计算【答案】（1）可知,
（2
）
所以
, 处）的
在
x=0.15
处的分布函数
值
在x=0.15的分布函数值.
二、证明题
9． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
知两者均为的无偏估计.