2017年天津工业大学0701数学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为
试求平均市场占有率.
【答案】这里平均市场占有率就是E （X ）
.
2． 设随机变量X 和Y 独立同服从参数为X 的泊松分布, 令
求U 和V 的相关系数【答案】因为
所以
由此得
3． 在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b ，c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率.
【答案】任意投掷此三角形，该三角形与平行线相交有以下三种情况：三角形的一个顶点在平行线上、一条边与平行线重合、两条边与平行线相交，由确定概率的几何方法知：前两种情况出现的概率为零，所以只要去确定两条边与平行线相交的概率，为此记ab ，ac ，be 与平行线相交的概率，则所求概率为
为求知
因为三角形的边a 与平行线相交意味着：ab 与平行线相交，或ac 与平行线相交；b 与平行线
分别为两条边
由蒲丰投针问题，只要将两条边与平行线相交的问题转化为每条边与平行线
分别为三条边a ，b ，c 与平行线相交的概率，则由蒲丰投针问题
相交的问题，为此又记
相交意味着：ab 与平行线相交，或be 与平行线相交；c 与平行线相交意味着：ac 与平行线相交，或be 与平行线相交，所以有
至
此
我
们
得
，
三
角
形
与
4． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
【答案】记事件
为“钥匙掉在宿舍里”，
为“钥匙掉在教室里”，
为“钥匙掉在路上”，事
5． 设总体X 的分布函数为
是来自总体的简单随机样本，（1）求
量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的
都有
其中为未知的大于零的参数
，
；（2）求
的极大似然估计
件B 为“找到钥匙由全概率公式得
平
行
线
相
交
的
概
率
为
【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数
（2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于
零时
，
（3）由于可知
令
得
的极大似然估计量为
独立同分布，显然对应的
由辛钦大数定律，
可得
故存在常数
使得对任意的
都有
也独立同分布，又有（1）
再由（1）（2）可知
，
6． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
【答案】（1）不难写出似然函数为
对数似然函数为
将之关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
而故
的最大似然估计.
（2）此处的似然函数为
它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是而的最大似然估计可取
（3）由条件，似然函数为
要使
尽量大，首先示性函数应为1，这说明
的最大似然估计应为
为
的
其次
要尽量小，
中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.
因
综上可知，的最大似然估计应为
7． 设总体无偏估计.
【答案】由于总体
这给出
是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 便