2017年天津职业技术师范大学概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为
表
1
（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；
，单位为万元. 试求工程队的平均利润； （2）设该工程队所获利润为Y=50（13-X ）
（3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间&（单位：月）的分布为
表
2
则其平均利润可增加多少？ 【答案】（1）需11个月.
（2）为100万元.
（3）调整安排后
，
2． 设随机变量X 服从（0，1）上的均匀分布，试求以下Y 的密度函数：
（1）（2）（3）（4）
所以平均利润
为
由此得平均利润可增加120-100=20（万元）.
该工程队所获平均利润该工程队完成此项工程平均
【答案】X 的密度函数为
（1）因为Y 的可能取值区间为调减函数，其反函数为
且
，且
所以
在区间（0，1）上为严格单
的密度函数为
，且（2）因为Y 的可能取值区间为（1，4）函数，其反函数为
且
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在区间（0，1）上为严格单调増
所以Y=3X+1的密度函数为
，且（3）因为Y 的可能取值区间为（1，e ）数，其反函数为
且
所以
甶区问（0，1）上为严格单调增函的密度函数为
（4）因为Y 的可能取值区间为其反函数为
且
所以
且
在区间（0，1）上为严格单调减函数，的密度函数为
3． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？
【答案】
均匀硬币正面朝上的概率
, 据题意
选取次数n 应满足
此式等价于
, 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
再由不等式
可得粗糙的估计
即抛均匀硬币250次后可满足要求.
4． 有20个灯泡, 设每个灯泡的寿命服从指数分布, 其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡, 当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的, 求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.
【答案】
记
为第i 个灯泡的寿命（单位:天）
,
由林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
5． 设随机变量
【答案】因为正态分布所以
由此得X 的3阶及4阶中心矩为
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设为n 次抛硬币中正面朝上的次数,
则有
则
且
, 试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩.
的特征函数为
6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求E （X ）, E （Y ）, Cov （X , Y ）. 【答案】
7． 设
【答案】
因为
为
及，求
的密度函数、数学期望与方差.
且
为严格单调增函数，其反函数
所以Y 的密度函数为
这是对数正态分布
为求其数学期望，采用线性变换
可得
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求
施行相同的线性变换，可得
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是
8． 设
的密度函数之故. 由此得
的密度函数之故.
的可能取值范围为
是来自对数级数分布
的一个样本，求参数p 的矩估计. 【答案】由于
因此有
从而得到p 的一个矩估计
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