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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 用矩形窗设计一个线性相位因果带通滤波器，已知

（1）求

的表达式。

的表达式。

（2）若用改进的升余弦窗设计，写出

【答案】（1）先求以0为对称中心的无限长序列：

设h （n ）的长度为N ，将对称中心移到

得到

加矩形窗

得到所设计的滤波器的冲激响应

因此有

（2）如果用改进的升佘弦窗即哈明窗设计，仍有

只是

为哈明窗，即有

2． 假设滤波器的系统函数为

在单位圆上采样六点，选择样结构中的有关系数。 【答案】

试画出它的频率采样结构，并在计算机上用DFT 求出频率采

式中，分母分子多项式各有一个零点统函数得到单位脉冲响应为

按照上式画出频率采样修正结构如图所示。图中系数

相互抵消，因此该系统仍然稳定，属于HR 系统。由系

图

求系数程序

程序运行结果：

如下：

得到

进一步的说明：此题h （n ）的长度为6, 由单位圆上采样6点得到频率采样结构，满足频率采样定理。但如 果采样点数少于6点，则不满足频率采样定理，产生时域混叠现象。

3． 试证明如果

序列【答案】根据已知

因为令

具有周期性，故：

则：

因为

为一有限长序列，得：

计算为：

综上可得：

即也是实偶对称序列的。

4． 用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹（Butterworth ）高通滤波器，技术指标为

：

【答案】由题意可知：

可以用两种方法设计离散时间高通滤波器：

法1:先设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在

为一有限长实偶对称序列，

即

得其

定义为：

则它的

一定也是实偶对称序列。