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一、计算题

1． 设质量为100kg 的物体从点

【答案】

2． 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:

【答案】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，有

于是

（3, 1, 8）沿直线移动到点

，计算重力所作的功（1, 4, 2）

（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.

（2）如图2所示，在极坐标系中，有

图1 图2 于是

（3）积分区域D 如图3所示. 在极坐标系中，抛物线

; 射线

，的方程是

故

的方程是

，

即

图

3

于是

（4）积分区域

故

3． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？

【答案】

因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时

记

，则

令

，故

小值。

4． 求心形线

【答案】

5． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面A ，则由对称性知全部表面的面积为16A 。

2

故全部表面积为16R 。

收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值

，

得，

当时

，，

当时

，

为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最

的全长。

及

所围立体的表面积。

上的那一部分的面积为

【答案】如图所示，设第一卦限内的立体表面位于圆柱面