2018年北京林业大学生物科学与技术学院725数学(自)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 总体
（1）证明
，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
于是，
，这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了
也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
2． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
的特征函数，由唯一性定理知
3． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
且X 与Y 独
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
4． 从正态总
服从大数定律.
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
，
先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
5． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明:
（1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
所以
因为X 与Y 相互独立，
由此得
6． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
存在，试证明:
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
7． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
8． 设随机变量X 取值
【答案】
【答案】因
服从大数定律. 的概率分别是
. 证明
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