2018年北京林业大学生物科学与技术学院725数学(自)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
2． 设随机变量独立同分布，且
是充分统计量.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
3． 证明:若
则对
的特征函数，由唯一性定理知有
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当 4． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
时，
时，
（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.
5． 设
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为由此得
6． 设随机变量
，则诸同分布，且由
，所以有
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
7． 设为
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
，知|
存在且相等，
所以
因为X 与Y 相互独立，
由此得
是来自泊松分布
的样本，证明:当样本量n 较大时，
的近似
置信区间
，因而
可得
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