2018年北京林业大学水土保持学院725数学(自)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
可分离变量，即U 与V 相互独立.
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
3． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
由
由于，
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2． 任意两事件之并
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
与的相关系数为
因而
所以
4． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
证明:当
时，随机变量
则由X 的特征函
数展开为级数形式，可得
按分布收敛于标准正态
可
得
所以而正是的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛
的方法知结论成立.
5． 设独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，
，故
最优.
，
都是的无偏估计；
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
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故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
6． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有
中等于
是充分统计量； 的个数，证明的取值
于是，对任一组并
设满足
是充分统计量.
中有个中有个
可以为0,
有
该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量
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是充分统计量.
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