2018年北京理工大学数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设曲线函数形式为
，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.
【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换:
变换后的线性函数为则最后的回归函数化为
2． 设X 服从泊松分布，且已知
【答案】由
得
求，从中解得
3． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然
1，其中
因为每台设备的利润为
4． 设随机变量
【答案】因为
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，进一步，可将之规范化，令
，由此得
, 所以每台设备的平均利润为
中任意两个的相关系数都是
试证:
所以
由此得
求
所以
由于
所以
6． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验
已知
样本容量.
【答案】由于本题中正态总体的方差已知，对于单侧假设检验问题，拒绝域的形式为其中
若取显著性水平
查表得知
取
若要求当
中的
时犯第二类错误的概率不超过0.05, 求所需的
又因为
5． 设X , Y 独立同分布，都服从标准正态分布
【答案】因为
独立，都服从
即检验的拒绝域为即
，于是，当
时，检验犯第二类错误的概率应满足
由于是
7． 设总体
的减函数，因此只需满足即可，由此可解得.
是其样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相
下存在优于的估计.
，
现考虑形如
的估计类，
，所以
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
【答案】由于总体其均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计
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差.
8． 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率:
（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束. 【答案】记事件（1）所求概率为
为“第i 次取到黑球”，i=l, 2, ….
，用乘法公式得
（2）所求概率为 9． 若
试证
为从分布族
为充分统计量.
中抽取的简单样本，
，用乘法公式得
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知，
10．设总体X 的分布函数为
【答案】设
经验分布函数为是取自总体分布函数为
为充分统计量. 试证
的样本，则经验分布函数为
若令于是
又
可写为
故有
11．若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，你认为他是否有诀窍？
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则是独立同分布的随机变量，且
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