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一、解答题

1． 求下列极限:

（1）（2）【答案】（1）

在区域

上连续. 因此

（2）

2． 求不定积分

【答案】注意到

设

, 由（1）式, 则有

由此解得

3． 试问函数

在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 为什么?

在区域

上连续, 因此

【答案】显然, f （x ）和g （x ）在区间[-1, 1]上连续, 在区间（-1, 1）内可导,

, , 所以, 柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得

不到满足, 不能应用柯西中值定理得到相应的结论.

4． 设函数u=u（x , y ）由方程组u=f（x , y , z , t ）, g （y , z , t ）=0, h （z , t ）=0所确定, 求

【答案】方程组分别关于x , y 求偏导数, 有

和

由和

分别解得

5． 求由

所围的立体的体积.

上, 用

表示位于第一卦限部

yOz 平面对称. 在上半空间【答案】显见立体关于xOy 平面、分的区域, 则

作广义球坐标变换:

故

6． 求下列不定积分:

（1）（3）

（2）

.

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【答案】（1）原积分

（2）原积分

（3）原积分

7． 已知g 为可导函数, a 为实数, 试求下列函数f 的导数:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（

2

）（3）（4）

8． 测得一物体的体积限为

g , 求由公式【答案】

其绝对误差限为

. ； ；

又测得重量

, 其绝对误差

算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限.

所以d

的相对误差限为

9． 写出下列级数的乘积:

（1）（2）

【答案】（1）级数得第n 条对角线和

绝对误差限为.

与级数在时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,