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一、证明题

1． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

于是,

所以 2．

设

在

上可微,

且对于任何

有

求证:对任何正整数n ,

有

则由

知道

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

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其中

又因为

在

上可微,

所以由微分中值定理可知,

存在

使得

因此

3． 证明:

【答案】因为

所以

所以

4． 设

为单调数列.

证明:若

, 则

时,

假设

无界, 则

存在聚点, 则必是惟一的

, 且为

中含有无穷多个中只能含有即任给

的确界.

. 令

, 则当

【答案】

设

是一个单调递增数列. 假设, 于是

是它的两个不相等的聚点, 不妨设

中的点, 设

中有穷多个点, 这与是聚点矛盾.

因此, 若

0, 按聚点的定义,

存在聚点, 则必是惟一的.

存在正整数N , 当n>N时,

有界. 对任给的

, 于是小于M 的只有, 由聚点定义, 必存在

有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾, 故

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,

使综上, 若

按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为

, 的确界.

5． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知,

, 使得

因此, 由罗尔定理可知, 故有

, 使得

由于

, 使

.

, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分

二、解答题

6． 重积分

【答案】先画出区域

其中

是由曲面

与

所围成的区域.

（见图）:

的图形, 并求出两曲面的交线为z=1平面上的圆:

图

由对称性知