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一、证明题

1． 设

为递减正项数列. 证明：级数

同时收敛，同时发散.

的部分和分别是

由此知，若又因为

由此知，若于是

2． 证明：

若

【答案】补充定义

在

的值如下：

使得

则

在闭区间

上满足罗尔中值定理的条件，于是存在一点

3． 设在上连续，证明：

⑴若

则

⑵若

收敛，则

【答案】(1)

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【答案】设正项级数有

收敛.

收敛，则有上界，从而有上界，即有上界，因此

收敛，则有上界，故也收敛.

与同时收敛，同时发散。 在有限开区间

内可导，

且

则至少存在一点

使

其中

在

与之间，在a 与b 之间，令

知

则由的连续性及

，

(2)

类似于(1) 的方法有

其中

在

与

之间，令

则

由

的连续性及

收敛有

4． 设级数

收敛，证明

也收敛.

【答案】因为

I

又

及

收敛，故

收敛，所以由比较原则得

：收敛.

二、解答题

5． 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？

【答案】设一段长为x ，则另一段长为得

.

又因为

故

形面积最大。

6． 对下列各函数计算

【答案】（1）

（2）

（3）

7． 设函数

【答案】

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矩形的面积为是

于是，

由

的极大值点. 因此当两段长度均为时，矩

因此因此因此

若f （x

）存在反函数

试用

在点x 三阶可导，

且

8． 利用定积分求下列极限：

【答案】⑴

因为

所以

故

（2）

当

时，

所以

从而

当当

时，

时，

即

所以所以

（3）因为

而

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