2018年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1．
方程组
能否由线性近似方程决定其稳定性问题? 试寻求李雅普诺夫函数以解决这方程组的零解的稳定性问题，同时变动高次项使新方程的零解为不稳定的.
【答案】由于对应线性近似方程的特征方程的两个特征值均为零，所以原方程组的稳定性不能由线性近似方程决定.
取
则
所以给定方程组的零解是渐近稳定的.
2．
计算线性微分方程
【答案】容易看出矩阵A
的三个特征根为
所以，根据刚性比的定义知道，
所求刚性比为的刚性比.
3． 求解下列方程
：
【答案】（1
）方程可以变形为
两边积分即得
再次积分，
得到
这里
（2
）令
是任意常数. 则方程化为
得到
积分后得
即
再次积分得到
当时，
得
故
综合起来，
方程的解为
这里
（3
）令
是任意常数. 则方程化为
得到
①
当
②当
即或者时，
即
且得到是任意常数.
时，
积分可得
再次积分则得到
或者写成
注意到当取
的解为
这里
（4）令
. 是任意常数. 则方程化为
时所以第②f 中情况包括第①沖情况，因此，综合起来，得原方程
当
当
. 时，
即
则时，方程又可以变形为
积分后得到
也就是
再次积分则得到
① 当
，
②
当
时时
这里
（5） 令
. 则方程化为
是任意常数. 综合以上几种情况，
即得原方程的解为
即
积分后得到
从而
积分后可得
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