2018年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1．
设
是初值问题
的饱和解，
这里是参数，
求
在处的表达式.
【答案】
可以把这里的参数看成普通的常数.
这里
根据教材中解对初值的可微性定理可得
，
当时，则有
2．
给定方程组
（1）
试验证
的解；分别是方程组
的满足初值条件
（2）
试验证
是方程组的满足初值条件
‘的解，其中
是任意常数.
【答案】
所以
分别是方程组
的满足条件的解
.
所以
是方程组
的满足初值条件
的解是任意常数.
3． 试判别下列方程组有无极限环存在：
（1
）
（2
）
（3
）
【答案】
（1
）设
则
故由定理9, 知原方程组无极限环.
（2
）设
则
故由定理9, 知原方程组无极限环.
（3
）作变换
原方程组可化为
由于
环域所以当内存在极限环，并且是不稳定的. 时
，
当时
，因此在
4． 解下列方程，并求奇解（如果存在的话）
：
并画出积分曲线图
；
并画出积分曲线图
；
为常数）
；
【答案】（1
）令并对方程两边关于x
求导得
即
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