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一、计算题

1． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且

【答案】因为

所以

试求

2． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为

，与n 无关.

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出

•

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球”容易看出:事件A ，B , C 互不相容，且现得早”，记

（2）设其中

. 以下对n 用归纳法:

，则

»

，代入可得

由归纳法知结论成立.

3． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

试求 （1）（2）（3）（4）【答案】 （1）

（2）P （x=y）=0 （3）

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（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着:第一次就取出白球，所以有

的联合分布函数.

（4）（x , y ）的联合分布函数要分如下5个区域表示:

4．

设

试求概率

【答案】由均匀分布

为独立同分布的随机变量，共同分布

为

可算得

其算术平均

为

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

这表明:来自均匀分布

的48个随机数的平均在2到3之间的概率近似为

较接

近于1.

5． 设事件A , B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4, 求

【答案】由题设知

.

. 又因为A ，B 独立，所以由

解得

6． 为了寻找飞机控制板上仪器表的最佳布置, 试验了三个方案, 观察领航员在紧急情况的反应时间（以

秒计）, 随机地选择28名领航员, 得到他们对于不同的布置方案的反应时间如下:

表

1

试在显著性水平试求

【答案】提出假设

不全相等

已知得

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及.

下检验各个方案的反应时间有无显著差异, 若有差异,

的置信水平为

的置信区间.

又

的自由度分别为

表

2

从而得方差分析表如下:

因

以下来求置信水平为

故在显著性水平的置信区间, 令

下拒绝, 认为差异是显著的.

则

从而分别得的一个置信水平为的置信区间为

.

由此可见, 若仅从得到的样本作出决策, 则以方案Ⅲ为佳.

7． 对泊松分布

（1）求

，使

的费希尔信息量与无关.

;

，令

所以，

（其中c 为大于0的任意常数），

（其中为任意常数）.

，

（2）找一个函数【答案】（1）（2）则

8． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且

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