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一、计算题

1． 设随机变量X 服从二项分布试求

中解得

. 由此得

【答案】从

2． 设

，随机变量Y 服从二项分布

. 若

，

为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布函数为

试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？

【答案】此为柯西分布的分布函数，而柯西分布的数学期望不存在，因为辛钦大数定律要求数学期望存在，所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.

3． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？

【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为

所以

4． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位:小时），其密度函数为

试求平均维修时间. 【答案】

故其平均维修时间为50小时.

5． 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本，其样本方差分别为试求

则

有

于是

【答案】不妨设正态总体的方差

为

利用统计软件计算可算出

譬如，可使用这里的

软件计算上式:在命令行输入就表示自由度为

则给出

的F 分布在x 处的分布函数.

6． 设随机变量X 服从区间（2, 5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.

【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y 为此种观测（X>3）的次数，则

，由此得

7． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取

【答案】只是这里的原假设和备择假设分别为

拒绝域为

，当取

时，

，检验统计量

u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.

8． 设随机变量x 与y 相互独立, x 的概率分布为

（1）求

（2）求X 的概率密度【答案】（1）（2）设z 的分布函数为当当当

时, 时,

时,

，样本标准差s=2.6cm,

）？

的概率密度为

则其值为非零时z 的取值区间为

所以z 的分布密度函数为

二、证明题

9． 设

是来自泊松分布

的样本，证明

在给定

是充分统计量. 后，对任意的

有

【答案】由泊松分布性质知

该条件分布与无关，因而

10．设随机变量

【答案】

11．证明:对正态分布

，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在. ，试证明:

是充分统计量.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在.

时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大