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一、计算题

1． 动点在平面内运动，已知其运动轨迹y=f（x ）及其速度在x 轴方向的分量ux 。判断下述说法是否正确:

（1）动点的速度v 可完全确定。 （2）动点的加速度在x 轴方向的分量（3）当

可完全确定。

法向加速度及全加速度a 。

（2）加速度沿x 轴方向的分量（3）当全加速度a

可求。

2． 如图所示, 物块A 的质量为

B 轮的质量为

半径为R , 在水平面做无滑动滚动. 轮心用刚度

为广义坐标,

可完全确定。其大小为

故可求，

也可求，所以

及

时，f （x ）为有限值，此时

时，一定能确定动点的速度V 、切向加速度

【答案】（1）在f （x ）为有限值时，其速度可完全确定

为k 长度为1的弹簧与物块A 相连, 物块A 与水平面间为光滑接触. 试以

（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （2）写出系统的第二类拉格朗日方程； （3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图

【答案】（1）系统的动能为:

系统势能为:

其中

为处于平衡位置弹簧的伸长量.

拉格朗日函数

（2）第二类拉格朗日方程

代入上一步的表达式, 得

（3）求其首次积分. 因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即

3． 刚体上A 点受力F 作用，如图所示，问能否在B 点加一个力使刚体平衡？为什么？

图

【答案】不能。当在B 点施加力F 时，不能同时保证

故不能平衡。

4． 质量为的均质杆OA 长为1, 可绕水平轴O 在铅垂面内转动, 其下端有一与基座相连的螺线弹簧, 刚度系数为k , 当方程

.

时, 弹簧无变形.OA 杆的A 端装有可自由转动的均质圆盘,

盘的质量为

半径为r 在盘面上作用有矩为M 的常力偶. 设广义坐标为和如图所示. 求该系统的运动微分

图

【答案】选取对应的广义力为:

为系统的广义坐标.

系统的动能为:

代入拉格朗日方程

得运动微分方程为:

5． 图1所示均质杆AB 长21, 一端靠在光滑的铅直墙壁上, 另一端放在固定光滑曲面DE 上. 欲使细杆能静止在铅垂平面的任意位置, 问曲面的曲线DE 的形式应是怎样的？

图1

【答案】建立图2所示坐标系

.

图2

由虚功原理可得因此

消去可得DE 的方程为

所以

为常数, 即