2017年大连海洋大学食品科学与工程715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
2． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明
：
【答案】
3 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
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）间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
, 且X 与Y 独立,
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
4． 设总体为韦布尔分布
的特征函数, 由唯一性定理知
其密度函数为
.
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.
为
因而最小次序统计量这说明.
的分布函数为
5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
进一步由
是随机变量序列, 若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对
注意到t>0时.
是增函数, 故当
因此有
所以当再证必要性. 设有
因为函数
时, 有
服从大数定律, 即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N , 当, 得
由于的任意性, 所以
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【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
得
6． （格涅坚科大数定律）设
时, 有
时,
7． 若事件A 与B 互不相容，且
证明：
【答案】
8． 设从均值为
方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，分别是
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&
的样本的合样本（样本量为
是线性无偏估计类
9． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
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）的均值
中方差最小的.
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则