2017年大连海洋大学生物医学工程601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 2． 设 【答案】因为离散场合, 当 时, g （y ）以概率 . 取 由于在Y 取固定值时, 上式对Y 的任一取值都成立, 即 . 在连续场合也有类似解释, 所以在一般 场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）. 3． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y= 不相关但不独立. 【答案】因为 所以 第 2 页，共 46 页 有相同的边际密度函数. 存在, 试证: 是随机变量Y 的函数, 记 , 它仍是随机变量. 在 也是常数, 故有 证明:X 与不相关. 为证明X 这表明:X 与 与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得 现考查如下特定事件的概率 所以X 与 4． 设总体μ，则 的UMVUE. 不独立. 为样本，证明， 分别是 的无偏估计，设 分别为 是0的任一无偏估计， 【答案】大家知道： 即 将（*）式两端对H 求导，并注意到 有 这说明为证明 即 于是 从而 的UMVUE. 的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得 由此可以得到的项，有 下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0 这表明这就证明了 5． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量 【答案】记 则 第 3 页，共 46 页 由此可得到的UMVUE. 因而 对一切的存在， 所以另一方面， 这就证明了 6． 用概率论的方法证明: 【答案】设 为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数 服从参数 的泊松分布 故 又由泊松分布的可加性知, 理知 的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定 7． 设总体X 的分布函数为 【答案】设 经验分布函数为 试证 是取自总体分布函数为 的样本, 则经验分布函数为 若令于是 又 可写为 , 故有 8． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证： （1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则 第 4 页，共 46 页 则是独立同分布的随机变量, 且