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一、证明题

1． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

2． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，不等式的下界. 3 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的密度函数为

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所以由单调性知从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

记

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

的容量为

的样本中位数是证明

的密度函数关于

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数与E 4． 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

因此

其中

为X 的分布函数, 类似有

因此

由上述两个关系式, 再考虑到的任意性,

即可得这就意味着

5． 设

证毕.

服从多项分布

其概率函数为：

其中

为参数，

若

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与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

的先验分布为Dirichlet 分布，

即

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet

分布

6． 设

【答案】若

, 证明:

，其中

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在

上是严格单调增函数, 其反函数

为

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

7． 设连续随机变量

, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半. 独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

从而该事件的概率为

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的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.