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一、综合题

1． 试证明用窗函数法设计FIR 滤波器时，对于所求的频率响应，矩形窗能提供一种最小均方误差意义下的最好的逼近。 【答案】令：

那么

表示将

后的

舍去后带来的总误差。此外，

可表示为：

式中，

产生的，假定：

且当

时

，

如果

是由对

截短所

根据上式由三角函数的正交性得

由于上式中每一项都是非负的，所以，

只有当小。当我们利用

其逼近误差为：

M 越大，误差

越小（因为

值愈小）。

再乘以非矩形窗

后

，

已经不是在最小平方意义上对

来近似

时，欲使近似误差为最小，

时，

才最

的单位抽样响应必须是

的傅立叶系数。这也说明，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的最佳逼近，

但如果我们把截短后的

的最佳逼近了。

2． 已知：【答案】

可化为：

试用脉冲响应不变法将转换成并画出直接型结构。

故

为：

直接型结构如图所示：

图

3． 确定下列线性时不变系统是否因果的？是否稳定的？

【答案】（a ）因为

即因为

故这个LTI 系统是非稳定的。 （b ）当

时，因为

故

因此该LTI 系统是因果的。 因为

故该LTI 系统是稳定的。

4． 证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：

【答案】（1）因为

令

则

不满足当

时为0, 故这个LTI 系统不是因果的。

（2）利用上面已证明的结果，得到

交换求和号的次序，得到

（3）

5． 利用FFT 对连续时间信号进行谱分析，仅是一个近似的估计，现有一个FFT 处理器，用来估算实数信 号的频谱，要求指标：①频率间分辨率为/, < 5 HZ; ②信号的最高频率/_< 1.25 kHz; ③FFT 的点数N 必须 是2的整数次幂。 试确定：

（1）信号记录长度

（2）采样点间的时间间隔【答案】根据采样定理

又因为

因为N 必须是2的整数次幂，所以取N=512。

（3）—个记录过程的点数N 。