2017年广西师范大学数学与统计学院624数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明对任意自然数n ，方程
【答案】令
连续函数的零点定理知，
又从而
对 2． 设
于
【答案】显然，由题设知
所以对一切n
都有
于是，当
即
递减，并且0是
的一个下界
.
即存在.
设
递增. 由
知，
是在
得
所以
为外法向量，u (x ，y ，z )
于是有
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在区间[0, 1]上总有惟一实根则.
并求
因此，由
所以.
在[0，1]上单调.
1]
上总有惟一实根在区间[0，
证明：数列
时，
与
的极限都存在且等
在[0, 1]上有零点.
在[0, 1]上存在惟一的零点，即方程
两边取极限得
记
的一个上界. 由单调有界定理知，的两边同时取极限，
得到
对
的极限都即a=b，
又由
两边取极限
得
3． 已知为三维空间中的有界区域，的边界为分段光滑的曲面，在
上 连续可偏导. 求证：【答案】不妨设
4． 设
【答案】
因为
所以
5． 设由行列式表示的函数
证明
时，
有
于是
又因为
所以存在N ,
当
其中
的导数都存在，证明
【答案】记
由行列式定义知f 为元的可微函数且
于是由复合函数求导数法则知
记①右边行列式中的代数余子式为则
从而代入②，得
其中
是将元素
去掉后得的
阶行列式，它恰为行列式
中的代数余子式，于是由③知
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6． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则
【答案】设n 和的方向余弦分别是
由第一、二型曲面积分之间的关系可得
由的方向固定，
原式=
7． 证明
:任意正数.
【答案】由于
有
当
积分在
若该积分在
时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对
时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得
因为
另一方面，
由于
，则
所以
则
当当
因而
时有
时有
取
于是当
则
矛盾，故原积分在
内不一致收敛。
时，
若
有
在
上一致收敛；在
内不一致收敛，其中
与为
都是常数，故
由高斯公式得
和
其中n 为曲面S 的外法线方向。
则
上一致收敛.
二、解答题
8． 求下列函数的n 阶导数：
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