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一、证明题

1． 叙述数集A 的上确界定义, 并证明:对任意有界数列

【答案】若存在数满足下面两条: （1）（2）令

则

2． 试证明

【答案】数集为对于任意一个正数M , 令

有上界而无下界. 对任意的

而

故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因

都有一定存在

有

.

总有

则称a 为数集A 的上确界, 即

二、解答题

3． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）

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（2）（3）（4）

（5）

（6）

4． （1）叙述无界函数的定义;

（2）证明

为

上的无界函数;

上的无界函数.

（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数.

（2）对任意正数M , 由于是, 取

无界函数.

（3）设

5． 设函数

【答案】构造函数:

在开区间在

显然,

则

得

并且

【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在使得

故是上的

为上的无界函数

内连续且有界, 试讨论内非一致连续.

在内的一致连续性.

可知,

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

令

时,

反证法:如果函数一致连续, 则对

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当

n 足够大的时候

出现矛盾

, 所以原命题成立.

6．

抛物线

【答案】设圆故

把圆

分成两部分, 求这两部分面积之比.

表示另一部分的面积, 则

面积为

于是

表示图中阴影部分的面积,

图

7． 计算曲面积分

个坐标面所围的第一卦限部分的外侧。

【答案】由高斯公式得

注:本题还可以用斯托克斯公式做。

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其中S 为由, z=h（h , R>0）及三