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一、证明题

1． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为同时, 存在正整数当

时

. , 令

, 则使得当

时,

, 于是, 当n>N时,

由于M 的任意性, 故

（2）因为于是

, 所以对一切由（1）的结论得

即

对于任给的

2． （1）证明:若向量

, 必存在

, 存在正整数, 使得当

时,

是凸开集, f :

是D 上的可微函数, 则对任意两点

, 满足

, 以及每一常. （2）利用（1）

, 因为f 在D 上可微, 所以F （x ）在

使

, 即

, 所以

, 存在正整数N , 使得当n>N时,

. 即

.

, 证明:

.

, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当

,

时

.

结果导出微分中值不等式

.

【答案】（1）考虑实值多元函数D 上也可微, 由于

, 则F :

是凸开集, 故根据多元函数的微分中值定理, 对

有

又（2）由

故有

, 则有

即

3． 设常数A , B , C 满足

, 且线性变换

变为方程证明:

. 其中u （x , y）具有二阶连续偏导数. 为方程

的两个不同实根.

, 于是

同理

将其代入方程中整理得

由已知条件, 原方程变为

, 所以有

由

知, 一元二次方程

有两个不等的实根, 而由前两个方程知

把方程

【答案】由已知得关系式

. 为方程的两个根, 由第三个不等式知

4． 求f （x ）=x3在区间上的傅里叶级数展开式, 并由此证明:

【答案】因为f （x ））在

上可积, 所以可展开成傅里叶级数. 而

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故

显然, 当

时, f （

x ） =x连续, 故

当x=0时, 级数收敛于于是由式（1）可得

, 即

.

. 再在式（1）中, 令

5． 设f

在

【答案】令因此, g

为得在

上

上可微

, 且

则

上的递减函数

. 于是, .

证明:

在

因为

.

上

,

所以

, 故

, 可得

3

, 由此

二、解答题

6． 设:

【答案】

7． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）

其中为可微函数, 求.