2017年福建师范大学数学与计算机科学学院838线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
【答案】因为
只要
在上一致连续，所以
，
就有
从而
用反证法. 函数
在上不一致连续可表述为：
尽管
应地存
在
2． 设f (x ) 在
则
上连续，对任意收敛.
，所
以
当
时
有
有
另外
试证：若
满
足
矛盾.
但
显然
，
取
相但
对上述
由
此即为
可知
在区间上一致连续的充要条件是： 只要
就有
【答案】用比较判别法. 因
为
即
从而当
时有
若
可取
收敛.
3． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：
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则
从而积分收敛，根据比较判别法可知，
积分
【答案】(1)
由
的定义域是因为的图像关于原点对称，所以对于任给
的
限
制
只需对X>0的情形进行证明. 设
.
得取
由于是
求证
时，
则当时
知，
对于任给的
取
则当
于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,
任取
时
4． 已知
【答案】当
，则要证的不等式等价于
令
则
而
故
从而有
5． 将函数
【答案】由
逐项积分上式得
因为
及
在[0，1]上连续。
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在其定义域内连续.
在点展开为幂级数，并证明此幂级数在[0，1]上一致收敛.
根据定理
可知级数
6． 已知在
证明:函数列【答案】由
上，函数列
再根据以上定理知幂级数在[0，1]上一致收敛. 一致收敛于一致收敛于在上分别一致收敛于
函数列
可得
在上分别一致收敛于
又故
在
上一致收敛于
7． 设为连续函数，证明：
【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，
应作代换
则
(2) 令
则
从而
由此得
于是有
一致收敛于
二、解答题
8． 设
计算下列积分：
【答案】(1) 应用广义球坐标变换
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