2017年山东科技大学信息科学与工程学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 若(2) 设在
而数列
在与
上严格递增，且对在
则
上有定义，
单调，对任意正整数
(正常数) ，
即数列
也不以
为极限，矛盾，于是
再证：当
由
2． 应用
(1
) (2
)
【答案】(1) 证法一：由于所以
另外
所以
证法二：
(2)
由
在任何
上
一致收敛，所以
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有
则. 使得
不以
则 已知
从而
有为极限，从
【答案】(1) 假招
上严格递增，所以
有
的子列
知
(反证法) 若结论不成立，即存在
于是
矛盾. 从而当
证明：
在任何
上
一致收敛， 时有
即时有
使得
(2) 不妨设单调递增. 对时有
即
单调递増，则有
另外
所以
二、解答题
3． 确定下列初等函数的存在域：
⑴（3）【答案】（1）（2）由
（3）故
得
故
（2）
（4）
的存在域为R.
的存在域为由由
得得
故
的存在域
的存在域为
的存在域为[1，100].
y=lgx的存在域为（4）
为（0, 10].
4． 求下列幂级数的收敛半径，并讨论区间端点的收敛性：
【答案】⑴
在端点
. 处，级数为
因为
使得
又在端点
所以在端点处，级数为
处原级数收敛.
因为
所以在端点(2
)
处原级数绝对收敛.
在端点
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处，级数为
因为
所以级数的一般项不趋于零，从而在端点散.
5． 求下列函数的麦克劳林级数展开式：
【答案】⑴设又
所以
(2
)
故
6． 设
(1) 试求以(2) 计算【答案】(1) 因所以
所以
其中
为自变量的反函数组；
得
处原级数发散. 同理在端点
处，原级数发
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