2017年西北民族大学数学与计算机科学学院726数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数在
【答案】
设
在
朗日中值定理，得到
其中
2． 按
(1) (4)
因为
所以
定义证明：
(2) (5)
(3)
上具有二阶导数，且
内的点
在
取得最大值，
于是
是的一个极值点. 由于
分别在区间
和
上对
并且
在应用拉格
内具有二阶导数，根据费马定理
，
内取得最大值. 试证：
【答案】(1) 由于
故对任意的(2) 不妨设
，只要取
则
[’
对任意的
只要取
则当
[时，有
(3) 由于
对任意的(4) 由于
只要取
则当n>N时，有
对于任意的
只要取
故
(5) 因为a>l，令
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则当时，这就证明了
，则当
时
由得对于任给取则当
时，有
故
证明：
则于是
，
即
故
是的一个下界.
故
是
的下确
3． 设S 为非空数集，定义
⑴
【答案】(1) 设又有对于任意正数
界，即
(2) 同理可证.
4． 设f (x , y ) 可微
【答案】由已知
是
存在
(2)
则任意
使得
上的一组线性无关向量，试证明：
若
则
的方向余弦
为的方向余弦，又因为
于是由①、②可得
5． 在[0，1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得
故
线性无关，所以
从
而时，
有
及
有
恒成立. 所以对于任
意
取
当n>N时，对任意的
由柯两准则知，级数而正项级数
在[0，1]上一致收敛. 若
发散，
这与
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存在优级数. 特别取，有
不存在
发散.
所以级数为优级数矛盾，因此级数
优级数
6． 设函数f 在区间上满足利普希茨(Lipschitz ) 条件，即存在常数
都有
证明:f 在上一致连续. 【答案】对任给的
故f 在I 上一致连续.
取
则当
且
时，有
使得对上任意两点
二、解答题
7． 设向量函数
定义如下
其中定了唯一的
隐函数
并求
在
上连续，由
得
显见
det
. 确定了惟一的隐函数
因为
所以
于是
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证明：在点的某邻域内，向量函数方程确
【答案】计算得知
所以，在
点
且
的某邻域内，向量函数
方程