2018年西北师范大学教育学院636数学教育综合之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 求摆线:
【答案】因
故质心坐标为
2． 有一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 间底的半径与容器高的比例应该怎样?
【答案】设底的半径为r , 则
, 由
, 容器的高
, 又因为
, 故
. , 容器的表面积
于是故
3． 设在区间
【答案】
得
,
,
的质心, 设其质量分布是均匀的.
是S （r ）的极小值点, 此时
即当底的半径与容器的高的比例为1: 1时, 容器的表面积为最小.
在
上具有连续二阶导数, 又设内至少有一个点
使
则
由泰勒公式有
其中在0与x 之间
.
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而
4． 计算积分
【答案】设
由介值定理,
至少有一点
使
的值, 并证明它也等于数项级数
则
的和.
为证明定理
:设
先来证明一个定理
: 在
内收敛,
若
也收敛, 则
事实上,
在
上收敛,
从而内闭一致收敛, 对于任何
都有
即有幂级数
在上收敛, 而
上收敛, 而
也收敛. 从而在
上一
致收敛, 和函数在x=R处左连续, 便有
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回到题目, 数项级数收敛, 设
由上述定理即知
5． 讨论下列问题:
（1）f （X ）, g （x ）在点x=0
的可导性, 其中
（2
）（3
）微的点.
【答案】 （1）因为
故由于
故
（2）因为
»
所以f
（X ）在点
X=1可导,
且
因f
（X ）只在点X=1连续, 在其他任一点（3）因为
故取
, 因为
,
都不连续, 从而f （X ）在点1
. 不可导.
不存在.
的可导性,
其中
则f （x ）在点x=0可微, 但在x=0的任何一个邻域内有不可
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