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一、证明题

1． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据

的构造性质可知,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖,

则在

中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

项, 这与中, 矛盾, 所以结论得证.

2． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:

则函数【答案】令

也满足此方程.

则有

同理

由于

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①

②

故有

同理

将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得

3． 证明:圆

（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

可得

而当

时, tanx 为单值函数, 因而由

可推出

, 即圆上任一点的切线与向

径夹角等于向径的极角.

4． 设f 在[a, b]上连续,

【答案】设

【答案】设切线与向径的夹角为

, 证明:存在

中最小者为

, 使得

, 则有

, 最大者为

若若

理, 可以得知存在

或, 则取

对f （x ）在区间（或

）使得

或, 就能满足题中要求. （或

）上应用连续函数的介值性定

二、解答题

5． 讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性:

（1）

（2）

【答案】（1）①因为

所以

②当

时,

当x=1时,

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0

故

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在[0

, 1]上连续, 而极限函数f （x ）在[0, 1]

上不连续, 所以

敛.

③因为

所以（2）而

所以

在（0, 1）上不一致收敛.

的距离平方和最小. , 到y=0的距离为

到

6． 在xy 平面上求一点, 使它到三直线x=0

, y=0及

, 它到x=0的距离为【答案】

设所求的点为（x ,

y ）的距离为

它到三直线的距离平方和为

由

得因为

,

因此

为z 的极小值点, 由实际意义知, 其为z 的最小值点, 最小值为

.

在[0, 1]上不一致收

7． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.

（1）若在int D内有（2）若在intD 内有

试问f 在D 上有何特性？

f 又怎样？

则

（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】（1）二元函数

f 在D= [a

, b] × [c, d]上连续, 若在int D内有这是因为对int D内任意两点

即

由

由中值定理知:存在的任意性, 知

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使得