2018年中山大学工学院602高等数学(B)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1．
已知
【答案】3或-1 【解析】因
为
即由于
线性无关，故必有
因为
不全为0, 所以上述齐次方程组有非零解. 系数行列式必为0, 于是
从而
线性相关，故有不全为0
的
使
线性无关，若
线性相关，则_____.
2．
若线性方程组有解.
则常数应满足条件_____.
【答案】
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换，有
又方程组有解，
则
3．
设线性方程组
故
即
有惟一解
方程组即
有特解【答案】
则方程组（2）的通解是_____.
其中k 是任意常数
显然
且
Ⅰ
方程组
的另一个特解.B 是3X4矩阵，故对应齐次方程组Bx=0的基
其中k 是任意常数.
【解析】方程组⑴Ax 二b 有進一解，
故
础解系只有一个线性无关向量组成，
且是
故⑵的通解为
4．
已知非齐次线性方程组
与同解，其中
则a=_____. 【答案】1
【解析】
所谓两个方程组
解.
对
求出其通解
与
同解，即
把
整理为
因为k 为任意常数，故a=l.
此时方程组
的解全是方程组
由
从解的结构知
是
的通解形式为
与
必同解.
易于验算
是
的解
，
的解. 且当a=l时，
方程组
为
的解全是
的解，
的解也全是代么方程组
的有
的解.
所以
二、计算题
5．
设矩阵
可相似对角化，求x
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根）
，
（单重根）•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量
A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量
方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，
于是
6． 举反例说明下列命题是错误的：
（1
）若
（2
）若
则
则有
有
但
，但且
但
则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY ,
且
【答案】
⑴取
⑵取
（3）取有AX=AF，
且
7． 2
阶对称矩阵的全体间.
在
中取一个
某
求T
在基
【答案】对于i=l, 2, 3,
把次看倒
’
下的矩阵. 中的向量，
并记为
对干矩阵的线性运算构成3维线性空
在V 中定义合同变
换
分别计算基向量在T 下的像如下：