2018年中国农业大学资源与环境学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A
是
A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】
因的个数，
故方程组
组可能只有零解，也可能有非零解.
2．
设四阶方阵
其中n
是
有非零解，但不必要，
因为当
的阶数，即方程组
时
的未知数此时方程
矩阵.
则
是齐次线性方程组
有非零解的（ ）。
其中均为4维列向量，A 可逆，
且
又设
则等于（ ）。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】显然矩阵B 是经A 的列重排后所得的矩阵，而是交换E 的第1、4两列后所得的初等矩阵
，是交换E 的第2、3列后所得的初等矩阵，
于是
.
故
3．
设
基础解系，则
A.
B.
C.
D.
是四阶矩阵，
为A 的伴随矩阵，若
是方程Ax=0的一个从而
的基础解系可为（ ）。
【答案】D
【解析】由伴随矩阵性质知
，
都为
的解. 又r （A ）=3.
从而
又Ax=0有非零解，故|A|=0,
即
故
即
的基础解系的秩为3. 又由条
件知
，
即线性相关.
从而
，
4．
己知向量是（ ）
A. B.
线性无关且为的基础解系. 是齐次方程组
的基础解系，那么下列向量中，
的解
【答案】B
【解析】AD 两项，
如果由
于
是必有解. 因为
可见第2个方程组无解，
即
不能由线性表出.
5． 设A
是矩阵，B 是矩阵，且满足AB=E，则（ ）。
A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关 【答案】C 【解析】
因为
是m 阶矩阵，
所以
那么
又因
故所以
于是A
的行秩
B 的列向量组线性无关.
6．
设矩阵
的秩
为m 阶单位矩阵. 上述结论正确的是（ ）
A.A 的任意m 个列向量必线性无关 B.A 的任一个m 阶子式不等于0
是的解，则
可表
示
必是的解，因此排除.
亦即方程
组
的基础解系，那
么的任何一个
解
所以A 的行向量组线性无关. 同理，B
的列秩
C.
非齐次线性方程组D.A
通过行初等变换可化为【答案】C
【解析】A 项和B 项，
由不是任意的；C 项，
由
一定有无穷多组解
知A 有m 个列向量线性无关或A 有m 阶子式不为0, 但知方程组
中有n-m 个自由未知数，故其有无穷多解；
D 项，矩阵A
仅仅通过初等行变换不能变换为矩阵
二、填空题
7． 己知三阶矩阵A
的逆矩阵为
【答案】【解析】
由于
阵就是求出矩阵
A.
故
因为
因此求出
的逆矩
则矩阵A
的伴随矩阵
的逆矩阵
=_____.
可知
又因
．
8么
设均为3维列向量，记矩
阵
那
如果
_____ 【答案】2
【解析】矩阵B 可写成两个矩阵的乘积形式，即
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