2016年新疆师范大学物理与电子工程学院高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 当为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分
与二重积分有什么关系?
，且在上，z=0，因此
【答案】此时在xOy 面上的投影区域D xy 就是自身（但不定侧）
当取上侧时为正号，取下侧时为负号。
2． 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数，指出其周期:
（l ）（2）（3）（4）（5）
。
。
【答案】（l ）是周期函数，周期（2）是周期函数，周期（4）不是周期函数。 （5）是周期函数，周期
3． 求下列方程所确定的隐函数的导数
（1）（2）（3）（4）
。
（3）是周期函数，周期T=2。
。
【答案】（1）在方程两端分别对x 求导，得是由方程
所确定的隐函数。
，从而其中
（2）在方程两端分别对x 求导，
得
是由方程
所确定的隐函数。
从而
从而
其中
（3）在方程两端分别对x 求导，得方程
所确定的隐函数。
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其中是由
（4）在方程两端分别对x 求导，得
所确定的隐函数。
4． 计算
【答案】添加曲面根据高斯公式得
，面
记
所围成的区域，关于xOy 平面对称，可知
令
，其中
从而其中是由方程
取外侧。
取与y 轴正向相反的一侧。
，
其中
。
。则
为曲
又
其中
关于x 轴对称，故
5． 求上半球面和xOz 面上的投影.
【答案】如图所示. 所求立体在xOy 面上的投影即为
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与圆柱体的公共部分在xOy ，而由
得所围成的区域
.
z 轴及曲线故所求立体在xOz 面上的投影为由x 轴，
图
6． 设可导函数
满足
求
。
【答案】在方程
即
且在原方程中取
可得
两端关于x 求导，得
由一阶线性方程的通解公式，得
代入初始条件
可得
故
二、证明题
7． 试证曲面
【答案】设
上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。
，则曲面在点
在曲面上任取一点
，则曲面在点M 处的切平面方程为
即
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处的一个法向量
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