2017年西南民族大学线性代数(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 验证
并把【答案】因
，
，
为
的一个基，
用这个基线性表示.
据此可知，
用此基线性表示式为
2． 设A 为三阶矩阵
，
【答案】因得
两端取行列式得
3． 设
，
，c 与a 正交，且
求
因
正交，有
有
故
求
故A 可逆. 于是由
及
从而
，
故
是
一个基；
【答案】以左乘题设关系式，得
得
而
4． 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：
（1）
（2）
【答案】（1）对作初等行变换，求它的行阶梯形：
由此可知（2）
，并且
是它的一个最大无关组.
由此可知
5． 证明二次型
【答案】设又
另一方面，
取
并且二次型f 在处的值为
综合以上知
6． 设
证明
为实数，满足
在
，并且
是它的一个最大无关组.
时的最大值为矩阵A 的最大特征值.
为A 的n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，再令
则
是非齐次线性方程组Ax=b的S 个解
，
也是它的解.
【答案】因
故
也是方程Ax=b的解.
是
的全部特征值. 由特是
8． 在R 中取两个基
7． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求
【答案】
令
的特征值. 又：
征值性质得
因1，2, 3是A 的特征值，
故
为3阶方阵，于是
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y
在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，
由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,
从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常