2017年中国海洋大学基础综合之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
2． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故
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，则 ，
，并令
即为所求通解。
并
令
则
且原方程化
为
（2）将原方程改写
成
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成于是原方程化为
即
为所求通解。
并令
故原方程的通解为（5）原方程可写成且原方程化为
故原方程通解为
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，并令则
（4）将原方程改写成且原方程化为
则
即
令z=y, 则
-2
或写成
3． 设函
数
，…设
【
是曲线
答
，定义函数
列
案
，
，…，
； 】
，直线x=1，y=0所围图形的面积，求极限
利用数学归纳法可得，，则
故
4． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
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