2018年浙江农林大学风景园林与建筑学院、旅游与健康学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有两台机器生产同种金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，
测得部件质量的样本方差分别为水平
检验假设
.
，设两样本相互独立，试在显著性
【答案】这是一个关于两正态总体方差的单侧检验问题，由所给条件算得若取显著性水平值），
拒绝域为
2． 若随机变量
【答案】方程
，此处，检验统计量未落入拒绝域中，因此接受原假设. . ，而方程无实根等价于
无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知
由此得知.
，可求得临界值为
，
（可用线性插值法或用统计软件求出此值，如在Matkb 中输入
即可给此
3． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道:“这一城市的小学学生平均每周看8h 电视. ”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字. 为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时
间
？
【答案】由于本题中样本量较大，可认为样本均值服从正态分布，依题意，需要建立的原假设和备择假设为
若取
，则
, 拒绝域
，由样本观测值计算得:
因而拒绝原假设，认为这位校长的看法是对的.
4． 一个保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人平均索赔280元，标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.
【答案】记
为第i 个投保人的索赔额，
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, 样本标准差为s=2h.问是否可以认为这位校长的看法是对
的
则
由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为
5． 设二维随机变量与Y 的协方差及相关系数.
【答案】因为区域D 的面积为
所以
的联合密度函数为
由此得X 和Y 各自的边际密度函数为 当当这表明
时，时，
由此可算得X 与Y 的期望与方差
另外还需计算XY 的期望
由此得X 与Y 的协方差及相关系数为
6． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
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服从区域上的均匀分布，求X
知两者均为的无偏估计.
故
事实上，这里
即更有效.
是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
求
所以
又因为
7． 设X , Y 独立同分布，都服从标准正态分布
【答案】因为由于
独立，都服从所以
8． 设满足
【答案】由于要使上述概率即
等价于要使是来自正态总体
的最小n 值.
所以有分布的
表
分位数
不大于
满足上述不等式的最小n 可用搜索法获得，如下表:
的一个样本.
是样本方差，试求
由此可见，当
就可使上述不等式成立.
二、证明题
9． 设
是独立同分布的正值随机变量，证明:
【答案】记又因为
，则诸同分布，且由
，所以有
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，知|
存在且相等，
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