2018年浙江农林大学风景园林与建筑学院、旅游与健康学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.
【答案】设事件为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记有
，且
所以由全概率公式得
得递推公式
将
代入上式可得
由此得
2． 从0, 1，2, …，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率:
（1）
（2）
（3）
；
. 则
【答案】记A={三个数字中不含0}, B ={三个数字中不含5}，则
又因为（1）（2）（3）
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，所以
3． 设二维随机变量（x ，y ）的联合密度函数如下，试问x 与y 是否相互独立？
（1）（2）（3）（4）（5）
【答案】（1）当x>0时，所以由（2）因为所以由
（3）当0 0 所以由 （5）当0 知X 与Y 不相互独立. 而当0 所以由. （6）当一 1 所以由 4． 设随机变量X 的密度函数为 试求k ，使得【答案】因为 第 3 页，共 32 页 • ' ；而当y>0时， ，知X 与Y 相互独立. ，知X 与Y 相互独立. ；而当0 ，知X 与Y 不相互独立，实际上， . . 由于P （x ，y ）的非零区域不可分离，就可看出X 与Y 不相互独立. 时 ， ；而当 0 时 ， 知X 与Y 相互独立. 时 ， 而当 0 时 ， 知X 与Y 不相互独立. ，由此解得 . 5． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的. 【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记 所以 与 的可能取值均为0, 1. 与 不相关. 所以只需证 表 与 是独立的. 记 的联合分布列 由X 与Y 不相关可得 的可能取值 与各自的边际分布列如下表所示. 由此可 得 得: 将此代入联合分布列与边际分布列的关系式 由 与的不相关性可 即可得 即 与 独立，从而证得X 与Y 独立. 的总体中，分别抽取容量为 和的两独立样本， 都是 和 的两独立样本的均值，故 因而 这证明了又由 知， 是的无偏估计. 从而 和 分别 6． 设从均值为n ，方差为常数a , b 使 【答案】由于 达到最小. 和 是容量分别为 是这两个样本的均值. 试证， 对于任意常数的无偏估计，并确定 第 4 页，共 32 页