2018年浙江农林大学环境与资源学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（x , y ）在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布，
试求
.
【答案】记
因为（x , y ）服从D 上的均匀分布，且D 的面积
2． 设随机变量X 的密度函数为
试求
【答案】因为
所以
•，由此得
.
，试求
.
，G 的面积
所以所求概率为
3． 掷一枚不均匀硬币，一直掷到正、反面都出现为止. 记出现正面的概率为平均抛掷次数.
【答案】记X 为直到正、反面都出现时的抛掷次数，则X 可取值2, 3, …，且有
可以验证:这是一个分布列. 由此得X 的数学期望为
从上式中可以看出:p=0.9与p=0.1时的平均抛掷次数是一样的，都为91/9; p=0.8与p=0.2时的平均抛掷次数是一样的，都为21/4; 而p 越接近于0.5时，币，则直至正、反面都出现的平均抛掷次数是3.
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越小；若p=0.5, 即掷一枚均匀硬
4． 掷一颗骰子60次，结果如:
表
试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为， 则要检验的假设为若取
则查表知，
这里k=6，检验拒绝域为检验的统计量为
由于
未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均
，
匀的. 此处检验的p 值为
5． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求 （1）常数k ; （2）（3）（4）
【答案】（1）由（2）（3）
（4）p （x , y ）的非零区域与
的交集如图的阴影部分，
.
；
解得
.
图
由图得
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6． 设
服从多项分布
，其概率函数为:
其中分布，即
其中
并把这一分布记作【答案】因为
. 证明:
的后验概率函数为
所以的后验分布服从Dirichlet 分布
7．
设总体分布列为
息量
求一、二阶导数，有
已经算得
，于是
8． 设随机变量x 、y 相互独立且都服从于正态分布
自总体X 和Y 的简单随机样本, 求统计量
的概率分布.
和
是分别来
【答案】对数分布列为
，其中
. 求的费希尔信
，记
，
为参数
，
，.
若
的先验分布为Dirichlet
的后验分布为Dirichlet 分布
【答案】由题意知, 又由得
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