当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

是具有二阶连续偏导数的函数，证明：

其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而是

沿曲线L 的外法线n 的方向导数.

【答案】在格林公式中，以P 代替

代替P 得

其中n 是L 的外法线方向. (1) 在

中令

则得

即

(2) 在

中，令

则得

即

(c ) 式减

式得

2． 设函数f 在且有

若若

则则取

或

即有

第 2 页，共 32 页

上连续，且证明：存在点由f (x ) 在

使得

上连续可知F (x ) 在

上也连续.

【答案】作辅助函数

使

得

即

由根的存在性定理知，存

在

综上，存在.

3． 已知平面区域

(1) (2)

【答案】(1) 方法一由于

所以欲证的等式成立. 方法二由格林公式，有

因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得

方法二由(1) 得

使得

L 为D 的正向边界. 试证：

4．

设

明

:

在

在

上可积.

在

上连续，所以它在

时，有

的分割之后，在

只要

上，若

上一致连续，即

上连续

，

在

上可积.

当

时

，

. 证

【答案】由于

因此作

事实上，从而

的振幅则

，必有

的振幅

由此知，在

上，若

必有

故

第 3 页，共 32 页

这样，

件的

必要性对上述的

和

分割

使得

于是由式(2) 知

最后由第三充要条件的充分性即知，

在

上可积.

先找

使式(1) 成立. 再由

在

上的可积性，利用第三充要条

二、解答题

5． 求下列函数的导数：

求求

【答案】⑴

和和，

(2)

6． 计算

【答案】由分部积分公式有

于是有

第 4 页，共 32 页

.