当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1．

设函数

【答案】因为

只要

对固定的

区间的长度

故对上述则当

时，有

记

由式(1) , 有

本题亦可用反证法予以答: 若结论不对，则存在记由就有

于是，当充分大时，有

从而有

由此可得

这与

的假设矛盾.

第 2 页，共 30 页

在

在

上一致连续，

且

上一致连续，所以

，就有

，

有(n 为正整数). 试证

：

取且为正整数，将区间等分. 记分点

则每个小

由已知条件，对每个当

时，有

因

为

再由式(2) , 有

_

故使

得

，对由

，相应地存在

使得

在_

上一致连续可知，对上述

只要

则

的有界性知，它存在一个收敛子列，不妨设为它本身，满足

2． 求证：

(1) (2)

【答案】(1) 已知序列

严格递増，且

又设再根据

显资

项的平均值不等式，有

联合

与

式即得

(2)

记

由第(1) 小题结论，有

再由第(1) 小题结论，有

即有下界，从而极限

3． 设函数在

上连续，在

存在.

内可导，且

证明：存在

【答案】因为

因而取存在

使得

第 3 页，共 30 页

使得

则函数F 和G 在

上满足柯西中值定理的条件. 于是

4． 试确定级数证明你的结论.

【答案】由

的收敛域. 又问：该级数在收敛域内是否一致收敛？是否连续？是否可微？

所以当x>0时级数敛域为

由于

而

所以级数的一般项在敛.

而

因因为敛，所以点

的任意性可知

有

收敛(利用比式判别法) ，

故在

上连续，所以

当

上一致收敛，从而

内连续、可微.

时有

内不一致收敛于0，故级数

使得当在

在时有

上一致收敛.

上连续，从而在点

而

上可微，因此在点

连续.

收可微. 由

内不一致收

收敛，当x<0时发散，当x=0时级数

发散，所以级数的收

二、解答题

5． 应用

【答案】在任何

内一致收敛

.

所以

则

第 4 页，共 30 页