2017年河南工业大学理学院837高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
2． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
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线性无关.
所以向量组线性无关.
则A 与B （ ）.
D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
5． 二次型
是（ ）二次型.
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
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6． （1）试证：实矩阵
（2）设C , 使
且
的特征值为实数； 并设A 的两个特征值
和
相等，设
试求一非奇异阵
【答案】（1）计算可得
由此知A 的两个特征值均为实数. （2）计算可得
由①知，A 的特征值为二重根再令
则由①有
从而由②知
即
的判别式，
由方程③，④有
又由①式知方程组⑦的系数矩阵的秩为1, 所以⑦同解于
在⑧中令
解得
将
代入⑤，⑥得
同理⑨同解于
令
解得
所以
且使①式成立.
7． 设A ，B 均为n 阶方阵，求证
【答案】（1）当结论成立. （2）当
时，考虑矩阵
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时，这时由公式.
可得
由于A 和B 都最多只有有限个
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