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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

2． 证明:对任意常数c , d , 有

）

【答案】

由

得

因而结论成立.

3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

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且X 与Y

因为

的特征函数，由唯一性定理知

所以由X 与Y 的独立性得

4． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证.

5． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且

.

证明:【答案】由所以得

. 进一步由

得的方差为

【答案】

7． 设

是来自正态分布

的样本，证明，在给定

下

是充分统计量. 的条件密度函数为

得

.

又因为

，

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

6． 证明:容量为2的样本

【答案】由条件，

它与无关，从而

是充分统计量.

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8． 设

证明:

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

所以

【答案】因为

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

二、计算题

9． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.

【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得

10．设随机变量X 的分布律为

表

1

求

的分布律.

可取值为0、1、4、9, 则有

即Y 的概率分布如下

表2

11．已知事件A , B 满足

【答案】因为

由此得

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【答案】由题意知,

，记，试求.