2018年华东交通大学经济管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 某种圆盘的直径在区间（a , b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.
【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为
，所以平均面积为
2． 设二维连续随机变量
的联合密度函数为
求条件密度函数【答案】因为所以当
时，
而当由此得
这是均匀分布
其中
时，
的非零区域为图中的阴影部分，
图
3． 设
是来自.
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率；
（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明:当
时，
.
【答案】 （1）由定义知，犯第一类错误的概率为
，n 最小应取多少？
这是因为在
成立下，
，而犯第二类错误的概率为
这是因为在
成立下.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即查表得:
，或，由此给出
， ，
.
因而凡最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
，时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
，即
才可实现，这一结论在一般场
注:从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须合仍成立，即要使得
行的，
故一般情况下人们不应要求与同时很小.
4． 设来自贝塔分布族
【答案】样本的联合密度函数为:
与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
的一个样本，寻求的充分统计量.
由因子分解定理，
5． 设二维随机变量与Y 的协方差及相关系数.
【答案】因为区域D 的面积为
所以
的联合密度函数为
是充分统计量.
服从区域
上的均匀分布，求X
由此得X 和Y 各自的边际密度函数为 当当这表明
时，时，
由此可算得X 与Y 的期望与方差
另外还需计算XY 的期望
由此得X 与Y 的协方差及相关系数为
6． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，
由此得
，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用.
7． 设随机变量X , Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量
（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布. （2）X 服从几何分布，即
【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1，所以或1,
因此
（2）因为X 服从几何分布，所以
由此得
=A.又由事件A 与B
的对称性知
的分布列.
.
的可能取值也为0
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