2018年长春工业大学基础科学学院810高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
则
为（ ）.
是（ ）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
*
*
*
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*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
所以有
即题设
因此
即
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解
右乘初等阵
所以
得
解法2
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】未知量个数有零解.
5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
二、分析计算题
6．
线性空间
这里
【答案】）设有则所以有
）按直和的定义, 必要性显然
.
且有唯一分解所以存在非零向量
这样得
即得的两个不同分解式, 与分解式唯一性相矛盾.
7． 设T 是数域K 上线性空间V 的线性变换. 证明:
①若
是T 的分别属于特征值
且
则
于是由（1）得
②若T 是数乘变换, 则存在
使
从而V 中任何非零向量都是T 的特征向量.
反之, 若V 中任何非零向量都是T 的特征向量, 则在V 中任取再任取V 的一个向量x. 若若若盾, 故必有
8． 设
或
则也有
则由假设x 也是T 的特征向量, 设
则由①知即也有. 整除
不是T 的特征向量. 这与任何非零向量都是T 的特征向量的假设矛
因此, T 是数乘变换.
，求
设
但属于不同特征值的特征向量线性无关, 故
矛盾.
的特征向量且
故
（1）
若
是T 的特征向量, 相应特征值为
则
不是T 的特征向量；
②T 是数乘变换【答案】①因为
V 中每个非零向量都是T 的特征向量.
如果
不是直和,
. 又因为子空间的交仍是子空间,
的和是直和的充要条件是
中至少有一个向量
可唯一地表示为
【答案】解法1直接用整除定义.
因为为4次，g 为2次，故商q 必为2次；又因f 与g 的首系数相同，常数项也相同，故商q 的首系数和常数项都必为1. 于是设
比较两端同次项系数，得
且