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一、解答题

1．

设二次型

（1）证明二次型f

对应的矩阵为（2

）若

【答案】（1）由题意知，

记

正交且均为单位向量，证明f

在正交变换下的标准形为

故二次型/

对应的矩阵为（2）证明：

设则

而矩阵A

的秩

故f

在正交变换下的标准形为 2．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

，由于

所以

为矩阵对应特征值所以

为矩阵对应特征值

所以

的特征向量；

的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

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即得到线性方程组

若要使C

存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时

，

所以方程组的通解为

也就是满足

AC-C4=B的矩阵C 为

其中

3

．

已知通解是

.

,

证明

【答案】由解的结构知

为任意常数.

是4维列向量

. 若齐次方程组

Ax=0的的基础解系.

是

4阶矩阵，

其中

是齐次方程组

故秩

又由

得

因与

可知综上可知，

有

即故

都是

的解. 由

线性无关.

由

是

得的基础解系.

那么

4． 求个齐次线件JTP 技使它的场础解系由下列向量成.

【答案】由题意，设所求的方程组为

构

将代入得，

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由这两个方程组知，

所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为

故所求的方程组可取为

解得此方程组

二、计算题

5． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.

【答案】

由特征方程的定义因此，

只需证

而

对应的特征向量依次为

求A.

【答案】因A 的特征值互异，

故知向量组P 为可逆阵，

且有

用初等行变换求得

线性无关，

于是若记矩阵

则

6． 设3阶矩阵A

的特征值为

是A

的特征值

于是

7． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：

【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；

（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.

8． 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样？

【答案】由矩阵秩的性质，

有