2018年浙江大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
其中t 为任意常数.
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数
.
3． 设矩阵
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解
，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令即
取.
进而解得的另一解为则有.
的基础解系为
：
方阵B 满足题意.
令
4． 已知
A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ）求A 的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
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令记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与
B 相似
.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为
-1, -1，-1.
对于矩阵B
，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量那么由：即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为
0.
（Ⅲ）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5．
已知
3阶矩阵A 的特征值为1
, 2, 3,
求
【答案】令
的特征值. 又：
征值性质得
6． 设n 阶矩阵
A 满足
【答案】
另一方面，由矩阵秩的性质，知因
7． 设
线性相关，
，故由以上两个不等式知，也线性相关，问
不一定线性相关.
是否一定线性相关? 试举例说明之.
，E 为n 阶单位矩阵，证明
（矩阵秩的性质）。
是
的全部特征值. 由特
是
因1，2, 3是A 的特征
值，故为3阶方阵，于是
【答案】向量组
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