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一、证明题

1． 设f 为R 上的单调函数, 定义是, g 的定义域是R , 由

于时,

于是当即当

一点都右连续.

2． 设是闭区间

【答案】用反证法:若但

而在某个, 即

时, 把y 限制在时,

, 证明g 在R 上每一点都右连续.

, 极限, 使得

当

,

右连续. 由的任意性知, g 在R 上每

都存在. 于

, 对于任

给的

. 内, 就有, 故g （x ）在

, 存

在

【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理, 对一切

上的连续可导函数. 记证明:

是有限集.

无限, 则

. 假设

且

内亦有

于是当n 充分大时,

介于

3． 设函数列

和【答案】使得

因当令不妨设

收敛, 存在正整数时有

,

, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,

, 于是

.

有

与x 之间, 这与Lagrange 中值定理矛盾. 所以

是有限集.

在[a, b]上可导, 且存在M>0, 使得对任意正整数n

成立. 证明:如果级数

, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:

在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.

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从而

4． 设

在[a, b]上一致收敛. 在点

存在,

在点

在点

连续,

证明f （x , y ）在点

其中

. 于是有

连续, 所以当

故f

（x , y

）在点

5

． 证明:曲面

可微,

常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

6． 设an ＞0, 证明级数

是收敛的.

【答案】显见级数为正项级数, 设级数部分和数列为则

可微.

【答案】因为

存在, 由一元函数的可微性知

令

时有

, 从而

可微.

. 因为fy （x , y ）在点

, 即

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数

F 连续

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

取1=（b

, c , a ）,

时恒有

则曲面

F （

ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

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即该正项级数的部分和S n 存界, 从而原级数收敛.

二、解答题

7． [1]求下列数列的极限:

（1）（2）（3）

[2]应用上题的结论证明下列各题: （1）（3）（5）（

7）若（

8）若

【答案】[1]（1）因为

而（2〉令

（3）

因为所以

[2]（1）因为（2）令（3）令

所以

则则

可知,

可知,

（4）令

则

可知,

则

由迫敛性可知

则则

所以

（2）（4

）（6）